Современное состояние исследований по поставленным проблемам и основные направления мировых исследований описано в серии работ научного коллектива под руководством В.П. Платонова 2015-2021 годов. Далее кратко приведем наиболее важные результаты, полученные нами к настоящему моменту в рамках исследования проблем настоящего проекта.

За последние несколько десятилетий теория функциональных непрерывных дробей стала мощным инструментом в проблеме поиска фундаментальных единиц и в проблеме поиска фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях, не смотря на то, что классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. Удивительный результат был получен в статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “On the problem of periodicity of continued fractions in hyperelliptic fields” (Sb. Math., 209:4 (2018), 519–559) для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел Q: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над Q, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов Q((x)).

Исходя из этого результата была сформулирована гипотеза о классификации эллиптических и гиперэллиптических полей вида L=Q(x)(\sqrt{f}) по признаку перидичности непрерывной дроби элемента \sqrt{f}: для каждого d>2 существует только конечное число свободных от квадратов многочленов f степени не выше d и определенных над Q, с периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле Q((x)) с точностью до эквивалентности, заданной заменой многочлена f на многочлен a^2f(bx^n) для некоторых натуральных n и рациональных отличных от нуля чисел a, b.

В статье Fedorov G. V. “On the classification problem for polynomials f with a periodic continued fraction expansion of √f in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2021. Vol. 85, no. 5. P. 972–1007) эта гипотеза решена для эллиптических полей (d=3 и d=4), а именно, полностью решена проблема классификации многочленов f, с периодическим разложением √f в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант.

В работах Howe E. W. «Genus‐2 Jacobians with torsion points of large order» (Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Т. 47. №. 1. С. 127-135) и Nicholls C. «Descent methods and torsion on Jacobians of higher genus curves» (дис. – University of Oxford, 2018) приведено актуальное состояние множества известных реализуемых порядков кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода 2 над полем рациональных чисел. В статье V.P. Platonov, G.V. Fedorov “An Infinite Family of Curves of Genus 2 over the Field of Rational Numbers Whose Jacobian Varieties Contain Rational Points of Order 28” (Dokl. Math., 98:2 (2018), 468–471) впервые найдено бесконечное семейство неизоморфных гиперэллиптических кривых рода 2 над полем Q рациональных чисел, якобиевы многообразия которых содержат Q-точки порядка 28. Отметим, что для порядков 27 и 29 на данный момент бесконечных семейств не найдено.

В статьях Platonov V. P., Fedorov G. V. “On s-units for linear valuations and periodicity of continued fractions of generalized type in hyperelliptic fields” (Doklady Mathematics. 2019. Vol. 99, no. 3. P. 277-281), Fedorov G. V. “On the s-units for the valuations of the second degree in hyperelliptic fields” (Izvestiya. Mathematics. 2020. Vol. 84, no. 2. P. 392–435), Fedorov G. V. On fundamental s-units and continued fractions, constructed in hyperelliptic fields by two linear valuations (Doklady Mathematics. 2021. Vol. 103, no. 3. P. 151–156) найдены критерии существования фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях для следующих трех случаев: А) множество S состоит из двух сопряженных линейных нормирований или из бесконечного нормирования и одного конечного несамосопряжённого нормирования первой степени; Б) множество S состоит из двух сопряженных нормирований второй степени; В) множество S состоит из двух различных конечных несамосопряжённых нормирований первой степени. В соответствии с найденными связями о наличии нетривиальных S-единиц в гиперэллиптическом поле и квазипериодическими функциональными непрерывными дробями обобщенного типа указанные результаты позволили сформулировать полное алгоритмическое решение проблемы кручения в якобианах гиперэллиптических кривых рода два.

В статье Fedorov G. V. «On the period length of a functional continued fraction over a number field» (Doklady Mathematics. 2020. Vol. 102. P. 513–517) на основании полного исследования мультипликативной структуры последовательности циклотомических многочленов специального вида найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей в K((1/x)) ключевых элементов вида \sqrt{f}/x^s (s - целое число) гиперэллиптических полей над числовыми полями K. Аналогичные оценки справедливы для длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов, построенных в поле формальных степенных рядов K((x)).

В последнее время проблемы, рассматриваемые в рамках настоящего проекта, получили особую практическую актуальность в связи с активным развитием цифровых технологий, компьютерной техники, высокопроизводительных вычислительных систем, новых криптографических протоколов, интеллектуальных систем защиты информации. Основанием рассматриваемой тематики можно считать классические работы Абеля и Чебышева. В дальнейшем фундаментальные результаты получены в работах E. Artin, B. Mazur, J. Tate, J.-P. Serre, G. Faltings, D. Mumford, D. Cantor, D. Kubert, J. Igusa и др. Среди современных исследований можно отметить значительные достижения научной школы академика В.П. Платонова, а также работы таких авторов как U. Zannier, N. Elkies, E. Flynn, F. Leprevost, H. Ogawa, E. Howe, W. Schmidt, B. Poonen, T. Berry, A. Stein, M. Sadek, A. Poorten и др. Каждый год представляются к защите PhD диссертации на близкие темы (для примера, Z. Scherr, University of Michigan, 2013; K. Daowsud, Oregon State University, 2015; O. Mercert, Scuola Normale Superiore, 2016; F. Malagoli, Universita di Pisa, 2017; C. Nicholls, University of Oxford, 2018).

Актуальность проекта

Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и построения фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и построения S-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения (функционального уравнения типа Пелля) с дополнительными условиями на вид уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными S-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного академиком В.П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для мирового математического сообщества многие годы остается недоступным решение проблемы кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Эту проблему можно отнести к важнейшим фундаментальным проблемам теории чисел и алгебраической геометрии. Ей посвящено огромное количество исследований, проводимых с начала XX века.

Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода 2 и 3.

Научная и практическая значимость проекта

Важность и актуальность рассматриваемых проблем среди современных математических исследований подчеркивается огромным количеством публикаций, проводимых с начала XX века и посвященных данной тематике. В последние годы рассматриваемые задачи вызывают особенно живой интерес у ведущих специалистов в современных областях математики в связи с развитием новых теоретико-числовых и алгебро-геометрических подходов к их решению.

Результаты теоретических и практических исследований могут быть использованы в криптографии в вопросах исследования стойкости существующих криптосистем и при создании новых криптографических протоколов, а также в разделе защиты информации финансовой математики, в том числе в перспективных системах распределенного реестра, на основе которых могут быть реализованы новые семейства цифровых финансовых активов.

Ожидаемые результаты

В данном проекте мы продолжим исследования, широко развитые научным коллективом под руководством В.П. Платонова. Мы собираемся существенно улучшить и углубить предложенные ранее идеи, обобщить и систематизировать их, предложить новые методы и новые эффективные алгоритмы. Мы планируем получить большие продвижения в проблеме ограниченности степеней фундаментальных S-единиц, проблеме поиска новых фундаментальных S-единиц, проблеме кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и их связи с функциональными непрерывными дробями.

В рамках настоящего проекта планируется продолжить исследование проблемы описания эллиптических полей с периодическим разложением \sqrt{f} в непрерывную дробь в поле K((x)), где поле K является расширением поля рациональных чисел степени 2. Мы рассчитываем получить полное решение этой задачи над квадратичными числовыми полями K, тем самым доказать приведенную гипотезу для эллиптических полей над квадратичными полями констант.

В качестве второго результата настоящего проекта мы планируем получить результаты об  описании возможных длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов эллиптических полей над квадратичными числовыми полями. Этот результат даст ответ в случае квадратичных числовых полей на вопрос, поставленный Шинцелем в статье 1961 года о возможных длинах периодов непрерывных дробей в эллиптических полях.

Наши исследования невозможны без высокопроизводительных вычислений с использованием параллельного и распределенного программного подхода. На основе программной реализации наших новых алгоритмов мы планируем найти новые примеры, демонстрирующих практическую сторону основных полученных результатов, а также имеющих собственный интерес. Мы рассчитываем, что в результате работы высокопроизводительных компьютерных вычислений, будут найдены новые примеры гиперэллиптических полей рода два над полем рациональных чисел, группа классов дивизоров степени ноль которых имеет кручение, порожденное эффективными дивизорами второй степени.

Партнеры

Другие проекты