Дифференциальные уравнения и математическая физика

1) «Функционально-разностные операторы для зеркальных кривых и формулы следов»

Планируется получение формул следов для спектра с произвольной гладкой функцией с компактным носителем на вещественной прямой, а также построение собственных функций и собственных чисел таких операторов с помощью метода Бора-Зоммерфельда.

2) «Спектральные и функциональные неравенства на многообразиях отрицательной кривизны»

Планируется получение точных оценок для спектра оператора Лапласа в областях на многообразиях с постоянной отрицательной кривизной, а также построение функционального неравенства типа Харди.

Научный руководитель: Арий Ариевич Лаптев – кандидат физико-математических наук, советский и шведский математик, специалист в области дифференциальных уравнений, научный руководитель Математического центра Научно-технологического университета «Сириус», профессор Имперского колледжа Лондона, почетный профессор Сибирского федерального университета.

3) «Исследование асимптотического поведения решений альфа моделей несжимаемой жидкости»

Система уравнений Навье-Стокса описывает движение вязкой несжимаемой жидкости. При больших значениях времени баланс вязкой диссипации энергии и ее притока за счет правой части приводит к выходу системы на квазистационарный режим. Описание этого режима представляет собой сложную задачу (включающую, например, проблему турбулентности). С математической точки зрения этот режим называется глобальным аттрактором — компактным инвариантным множеством в фазовом пространстве, которое притягивает при больших значениях времени образы всех ограниченных множеств. Количественные характеристики аттрактора (размерность, число степеней свободы, определяющие функционалы и т.п.) тесно связаны с современной теорией уравнений с частными производными, спектральной теорией и теорией функциональных пространств. В трехмерном случае математическая теория уравнений Навье-Стокса развита не в полной мере. Поэтому важное значение имеют различные приближенные модели, в которых мелкомасштабные явления (размера порядка α) отфильтрованы. Такие модели называются альфа моделями и в последнее время привлекают большое внимание как с точки зрения теории, так и приложений.

Научный руководитель: Алексей Андреевич Ильин – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник ИПМ РАН, старший научный сотрудник Научно-технологического университета «Сириус». Научные интересы: нелинейные диссипативные уравнения, система Навье–Стокса, аттракторы, функциональные пространства.